Question

1．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB的延长线相交于点M，连结MC．
（1）求证：FM=FC；
（2）AD与MC垂直吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质，得出DF⊥AE，DF=AF=EF，再证明△DFC≌△AFM，得出FC=FM；
（2）由（1）得：∠DFC=90°，DF=EF，∠FDE=∠FMC=45°，再证明DE∥MC，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AD⊥DE，且AD=DE，F是AE的中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM+∠AMF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FAM+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠AFM=90°}\\{∠DCF=∠AMF}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴FC=FM；

（2）AD⊥MC．
理由如下：
由（1）得：∠DFC=90°，DF=EF，FM=FC，
∴△DEF、△CFM是等腰直角三角形，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥MC，
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．