Question

9．如图，设P是直径为8的半圆O上一动点．
（1）如图①，若P到AB的距离PD=2$\sqrt{3}$，试求出AD的长；
（2）如图②，若点Q是弧$\widehat{BP}$上任一点，连接AQ交PB于点M，试说明AM•AQ+BM•BP为定值．

Answer 1

分析 （1）证△PAD∽△BPD得$\frac{AD}{PD}=\frac{PD}{BD}$，即可知PD²=AD•DB，设AD=x，则DB=8-x，即可得（2$\sqrt{3}$）²=x（8-x），解之得出答案；
（2）作MG⊥AB，证△AMG∽△ABQ知$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AQ}$，即AM•AQ=AB•AG．同理可得：BG•BP=GB•AB．两式相加得：AM•AQ+BM•BP=AB²=64，即可得答案．

解答 解：（1）如图①，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，即∠APD+∠BPD=90°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠PDB=90°，
∴∠APD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠BPD，
∴△PAD∽△BPD．
∴$\frac{AD}{PD}=\frac{PD}{BD}$，
∴PD²=AD•DB．
设AD=x，则DB=8-x，
∴（2$\sqrt{3}$）²=x（8-x），
解得x=2或x=6．
即AD=2，AD=6．

（2）如图②过M作MG⊥AB，连接PA、QB，
∵∠AGM=∠AQB=90°，
又∵∠GAM=∠QAB，
∴△AMG∽△ABQ，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AQ}$，
∴AM•AQ=AB•AG．
同理可得：BG•BP=GB•AB．
两式相加得：AM•AQ+BM•BP=AB²=64．
∴AM•AQ+BM•BP为定值．

点评 本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．