Question

如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．

解答：（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，

∠DCF=∠AMF ∠MFA=∠CFD DF=AF

，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键．