Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=

3

，抛物线y=ax²-ax-a经过点B（2，

3

3

），与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．
（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD∽△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．
（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．

解答：解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得

3

3

=a×2²-2a-a，
解得a=

3

3

，
∴抛物线的表达式为y=

3

3

x²-

3

3

x-

3

3

．

（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCF=90°，
∴∠ACO=∠CBF，
∵∠AOC=∠CFB=90°，
∴△AOC∽△CFB，
∴

AO

CF

=

OC

BF

，
设OC=m，则CF=2-m，则有

3

2-m

=

m

3 3

，
解得m₁=m₂=1，
∴OC=CF=1，
当x=0时，y=-

3

3

，
∴OD=

3

3

，
∴BF=OD，
∵∠DOC=∠BFC=90°，
∴△OCD≌△FCB，
∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，
∴点B、C、D在同一直线上，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．

（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则

b= 3 3 3 =2k+b

，
解得k=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x+

3

，代入抛物线的表达式-

3

3

x+

3

=

3

3

x²-

3

3

x-

3

3

．
解得x=2或x=-2，
当x=-2时y=-

3

3

x+

3

=-

3

3

×（-2）+

3

=

5 3

3

，
∴点E的坐标为（-2，

5 3

3

），
∵tan∠EDG=

EG

DG

=

2

5 3 3 + 3 3

=

3

3

，
∴∠EDG=30°
∵tan∠OAC=

OC

OA

=

1

3

=

3

3

，
∴∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠EDG，
∴ED∥AC．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握．