题目内容
【合作学习】如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y=
| k |
| x |
①该反比例函数的解析式是什么？
②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？
（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；
（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”
针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：综合题
分析：（1）①先根据矩形的性质得到D（2，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，则得到反比例函数解析式为y=
；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，根据坐标与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3-a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3-a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；
（2）当AE＞EG时，假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，则得到F点坐标为（3，3），根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点F（3，3）不在反比例函数y=
的图象上，由此得到矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；
当AE＞EG时，若矩形AEGF与矩形DOHE相似，根据相似的性质得AE：OD=AF：DE，即
=
=
，设AE=3t，则AF=2t，得到F点坐标为（2+3t，3-2t），
利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+3t）（3-2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=
，则AE=3t=
，于是得到相似比=
=
．
| 6 |
| x |
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，根据坐标与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3-a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3-a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；
（2）当AE＞EG时，假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，则得到F点坐标为（3，3），根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点F（3，3）不在反比例函数y=
| 6 |
| x |
当AE＞EG时，若矩形AEGF与矩形DOHE相似，根据相似的性质得AE：OD=AF：DE，即
| AE |
| AF |
| OD |
| DE |
| 3 |
| 2 |
利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+3t）（3-2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 2 |
| AE |
| OD |
| 5 |
| 6 |
解答：解：（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，
而OD=3，DE=2，
∴E点坐标为（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=
（x＞0）；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，
∴B点坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3），
∴F点坐标为（2+a，3-a），
把F（2+a，3-a）代入y=
得（2+a）（3-a）=6，解得a1=1，a2=0（舍去），
∴F点坐标为（3，2）；
（2）①当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下：
假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，
∴A点坐标为（5，3），
∴F点坐标为（3，3），
而3×3=9≠6，
∴F点不在反比例函数y=
的图象上，
∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；
②当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．
∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似，
∴AE：OD=AF：DE，
∴
=
=
，
设AE=3t，则AF=2t，
∴A点坐标为（2+3t，3），
∴F点坐标为（2+3t，3-2t），
把F（2+3t，3-2t）代入y=
得（2+3t）（3-2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=
，
∴AE=3t=
，
∴相似比=
=
=
．
解：（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，而OD=3，DE=2，
∴E点坐标为（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=
| 6 |
| x |
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，
∴B点坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3），
∴F点坐标为（2+a，3-a），
把F（2+a，3-a）代入y=
| 6 |
| x |
∴F点坐标为（3，2）；
（2）①当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下：
假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，
∴A点坐标为（5，3），
∴F点坐标为（3，3），
而3×3=9≠6，
∴F点不在反比例函数y=
| 6 |
| x |
∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；
②当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．
∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似，
∴AE：OD=AF：DE，
∴
| AE |
| AF |
| OD |
| DE |
| 3 |
| 2 |
设AE=3t，则AF=2t，
∴A点坐标为（2+3t，3），
∴F点坐标为（2+3t，3-2t），
把F（2+3t，3-2t）代入y=
| 6 |
| x |
| 5 |
| 6 |
∴AE=3t=
| 5 |
| 2 |
∴相似比=
| AE |
| OD |
| ||
| 3 |
| 5 |
| 6 |
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和图形全等的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程．
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