Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6．
（1）求C点的坐标；
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求折痕DE的长；
（3）若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以M、D、F、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）要求点C的坐标，只需运用勾股定理求出OC即可．
（2）易证△AFE≌△CFD，得到EF=DF，要求DE，只需求出DF．先证明△DFC∽△AOC，再根据相似三角形的对应边成比例就可求出DF，进而求出DE．
（3）构成菱形的四个顶点的顺序不定，需分情况讨论．由于D、F是定点，可将线段DF分为两大类：DF为菱形的一边、DF为菱形的对角线．然后分别讨论即可．

解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°．
∵AC=10，OA=6，
∴OC=8．
∴C点的坐标为（8，0）．
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF=FC=5．
∵∠FCD=∠OCA，∠DFC=∠AOC=90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴

DF

AO

=

FC

OC

=

DC

AC

．
∴

DF

6

=

5

8

=

DC

10

．
∴DF=

15

4

，DC=

25

4

．
∴OD=OC-DC=8-

25

4

=

7

4

．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF=∠DCF
在△AFE和△CFD中，

∠EAF=∠DCF AF=FC ∠EFA=∠DFC

．
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF=DF．
∴DE=2DF=2×

15

4

=

15

2

．
∴折痕DE的长为

15

2

．
（3）过点F作FH⊥DC，垂足为H，如图2，
∵S△DFC=

1

2

DF•FC=

1

2

DC•FH，DF=

15

4

，FC=5，DC=

25

4

，
∴FH=3．
∵FH⊥DC，DF=

15

4

，FH=3，
∴DH=

9

4

．
∴OH=OD+DH=4．
∴F（4，3）．
①若DF为菱形的一边
当DM为菱形的对角线时，如图3．点N与点F关于x轴对称，则点N的坐标为（4，-3）．
当DM为菱形的另一边时，如图4．此时FN∥DM，FN=DF=

15

4

．
∵F（4，3），
∴点N的坐标为（4-

15

4

，3）或（4+

15

4

，3）即（

1

4

，3）或（

31

4

，3）．
②若DF为菱形的对角线，如图5．
∵四边形DNFM为菱形，
∴MN⊥DF，DG=

1

2

DF．
∵DF⊥AC，
∴∠DGM=∠DFC=90°．
∴MN∥AC．
∴△DGM∽△DFC．
∴

DM

DC

=

DG

DF

=

1

2

．
∴DM=

1

2

DC=

25

8

．
∵四边形DNFM为菱形，
∴NF∥DM，NF=DM=

25

8

．
∴点N的坐标为（4-

25

8

，3）即（

7

8

，3）．
综上所述：符合要求的点N的坐标可能为（4，-3）、（

1

4

，3）、（

31

4

，3）、（

7

8

，3）．

点评：本题运用了矩形的性质、菱形的性质、三角形相似（包括全等）的性质及判定、勾股定理等知识，综合性强；另外，还考查了分类讨论的思想，注重对学生知识和能力的考查，是一条好题．