Question

15．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一动点（不与B，C重合），∠DAE=60°，过点B作BE∥AC交AE于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）当点D在何处时，AE⊥BE？指出点D的位置并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=∠C=60°，由∠DAE=60°得到∠DAE=∠BAC，推出∠EAB=∠DAC，根据平行线的性质得到∠EBA=∠BAC，推出∠EBA=∠C，证得△AEB≌△ADC，根据全等三角形的性质得到AE=AD，即可得到结论；
（2）当D为AC中点时．根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，于是得到∠ADC=90°，根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠ADC=90°，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵∠DAE=60°
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∵BE∥AC，
∴∠EBA=∠BAC，
∴∠EBA=∠C，
在△AEB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\\{∠EBA=∠C}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形；

（2）当D为AC中点时．
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴AE⊥BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．