Question

7．已知．如图，在正方形（四边相等，四个内角都为90°）ABCD中，过顶点D作射线交AB于E，过点B作BF⊥DE，F为垂足，联结AF，过点A作AG⊥AF交DE于G．求证：∠AGD=135°．

Answer 1

分析 根据正方形性质求出AD=AB，∠DAE=90°，求出∠BFE=∠DAE=∠FAG=90°，∠FAB=∠DAG，根据∠ADG=180°-∠DAG-∠AED，∠ABF=180°-∠BFE-∠BEF求出∠ADG=∠ABF，根据ASA推出△DAG≌△BAF，根据全等三角形的性质得出AF=AG，求出∠AFG=∠AGF=45°，即可得出答案．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=90°，
∵AF⊥AG，BF⊥DE，
∴∠BFE=∠DAE=∠FAG=90°，
∴∠FAB=∠DAG=90°-∠GAE，
∵∠ADG=180°-∠DAG-∠AED，∠ABF=180°-∠BFE-∠BEF，
又∵∠DAE=∠BFE，∠AED=∠BEF，
∴∠ADG=∠ABF，
在△DAG和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠ABF}\\{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAF}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAF（ASA），
∴AF=AG，
∵∠FAG=90°，
∴∠AFG=∠AGF=45°，
∴∠AGD=∠GAF+∠AFG=90°+45°=135°．

点评 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．