Question

10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE∥BC，BD⊥CE于点D，BD交AC于F，连结EF．求证：BF=CE+EF．

Answer 1

分析 延长BA，CE交于E，根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=45°，∠HAF=90°，根据平行线的性质得到∠EAF=∠ACB=∠ABC=∠EAH=45°，根据预计欧的性质得到∠1=∠4，推出△ABF≌△ACH，由全等三角形的性质得到BF=CH，AF=AH，通过△AEF≌△AEH，得到EF=HE，于是得到结论．

解答 证明：延长BA，CE交于E，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，∠HAF=90°，
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠ACB=∠ABC=∠EAH=45°，
∵∠1+∠2=∠3+∠4=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
在△ABF与△ACH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠CAH}\\{AB=AC}\\{∠1=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACH，
∴BF=CH，AF=AH，
在△AEF与△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEH，
∴EF=HE，
∴BF=CH=CE+HE=CE+EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．