Question

20．如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE与AD交于点O，AD与CE交于点N，AC与BE交于点M，连OC、MN，则下列结论①AD=BE；②AN=BM；③MN∥BD；④∠BOC=∠DOC；⑤若∠ADE=20°，则∠BED=100°；⑥OB=AO+OC，其中正确的结论个数有（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，判断出①正确，全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，再求出∠ACN=∠BCM=60°，然后利用“边角边”证明△ACN和△BCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=BM，CM=CN，判断出②正确，根据全等三角形对应角相等可得∠BOC=∠ACN=60°，再求出∠DOC=60°，从而得到∠BOC=∠DOC，判断出④正确；判断出△CMN为等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠CMN=60°，得到∠ACB=∠CMN，再根据内错角相等，两直线平行可得MN∥BD，判断出③正确；求出∠ADC，即为∠BEC，再根据∠BED=∠BEC+∠CED计算即可得解，从而判断出⑤正确；在BO上截取BH=AO，连接CH，通过△BCH≌△AOC，得到CH=CO，证得△HOC是等边三角形，于是得到OH=OC，于是得到OB=OA+OC，⑥正确．

解答 解：∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，（故①正确）；
∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，
∵∠ACN=180°-2×60°=60°，
∴∠ACN=∠BCM=60°，
在△ACN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠BCM}\\{AC=BC}\\{∠CAD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM，CM=CN，（故②正确）；
∠BOC=∠ACN=60°，
∵∠CBE+∠ADC=∠CBE+∠BEC=∠DCE=60°，
∴∠BOD=180°-（∠CBE+∠ADC）=180°-60°=120°，
∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=120°-60°=60°，
∴∠BOC=∠DOC，（故④正确）；
∵∠ACN=60°，CM=CN，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠CMN=60°，
∴∠ACB=∠CMN=60°，
∴MN∥BD，（故③正确）；
∵∠ADE=20°，
∴∠ADC=∠CDE-∠ADE=60°-20°=40°，
∴∠BEC=40°，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=40°+60°=100°，（故⑤正确）；
在BO上截取BH=AO，连接CH，
在△BCH与△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBH=∠CAD}\\{BH=AO}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△AOC，
∴CH=CO，
∵∠HOC=60°，
∴△HOC是等边三角形，
∴OH=OC，
∵OB=BH+OH，
∴OB=OA+OC，（故⑥正确）．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．