Question

3．在△ABC，点P是BC边的中点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：
（1）当PD=PE时，AB=AC；
（2）当AB=AC时，PD=PE．

Answer 1

分析 （1）由HL证明Rt△BPD≌Rt△CPE，得出对应角相等∠B=∠C，由等角对等边即可得出AB=AC即可；
（2）由等腰三角形的三线合一性质得出∠BAP=∠CAP，再由角平分线的性质定理即可得出结论．

解答 证明：（1）∵点P是BC边的中点，
∴BP=CP，
∵PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，
∴∠PDB=∠PEC=90°，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=CP}\\{PD=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）∵AB=AC，点P是BC边的中点，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，
∴PD=PE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．