Question

8．在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点M （m，0），N （n，0），且$\sqrt{m+n-3}$+|2m+n|=0．
（1）求m，n的值；
（2）若点E是第一象限内一点，且EN⊥x轴，点E到x轴的距离为4，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A．点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．
①经过几秒PQ平行于y轴？
②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10cm²，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平方根和绝对值的性质得出 $\left\{\begin{array}{l}m+n-3=0\\ 2m+n=0\end{array}\right.$，解方程组即可；
（2）①设x秒后PQ平行于y轴，由于AP∥OQ，所以当AP=OQ时，四边形AOQP是平行四边形，那么PQ平行于y轴，根据AP=OQ列出关于x的方程，解方程即可；
②设y秒后四边形AOQP的面积为10cm²，根据四边形AOQP的面积=$\frac{1}{2}$（OQ+AP）•OA列出关于y的方程，进而求出点P的坐标．

解答 解：（1）依题意，得 $\left\{\begin{array}{l}m+n-3=0\\ 2m+n=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=-3\\ n=6\end{array}\right.$；
（2）①设经过x秒PQ平行于y轴，
依题意，得6-2x=x解得x=2，
②当点P在y轴右侧时，
依题意，得$\frac{{（{6-2x}）+x}}{2}×4=10$，
解得x=1，
此时点P 的坐标为（4，4），
当点P在y轴左侧时，
依题意，得$\frac{{（{2x-6}）+x}}{2}×4=10$，
解得$x=\frac{11}{3}$，
此时点P 的坐标为$（{-\frac{4}{3}\;，\;4}）$．

点评 本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，梯形的面积，难度适中．运用数形结合与方程思想是解题的关键．