Question

20．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=$\frac{AD}{AC}$，则
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×BC×ACsin∠C=$\frac{1}{2}$absin∠C，
即S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin∠C
同理S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin∠A
S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a²=b²+c²-2bccos∠A
b²=a²+c²-2accos∠B
c²=a²+b²-2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S_△DEF和DE²．
解：S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF×DFsin∠F=6$\sqrt{3}$；
DE²=EF²+DF²-2EF×DFcos∠F=49．
（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，求证：S₁+S₂=S₃+S₄．

Answer 1

分析 （1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；
（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；
方法2、先用正弦定理得出S₁，S₂，S₃，S₄，最后用余弦定理即可得出结论．

解答 解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，
∴EF=3，DF=8，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF×DFsin∠F=$\frac{1}{2}$×3×8×sin60°=6$\sqrt{3}$，
DE²=EF²+DF²-2EF×DFcos∠F=3²+8²-2×3×8×cos60°=49，
故答案为：6$\sqrt{3}$，49；

（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，
∴AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos60°=AC²+BC²-AC•BC，
两边同时乘以$\frac{1}{2}$sin60°得，$\frac{1}{2}$AB²sin60°=$\frac{1}{2}$AC²sin60°+$\frac{1}{2}$BC²sin60°-$\frac{1}{2}$AC•BCsin60°，
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S₁=$\frac{1}{2}$AC•BCsin60°，S₂=$\frac{1}{2}$AB²sin60°，S₃=$\frac{1}{2}$BC²sin60°，S₄=$\frac{1}{2}$AC²sin60°，
∴S₂=S₄+S₃-S₁，
∴S₁+S₂=S₃+S₄，

方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
∴S₁=$\frac{1}{2}$absin∠C=$\frac{1}{2}$absin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S₂=$\frac{1}{2}$c•c•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，S₃=$\frac{1}{2}$a•a•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S⁴=$\frac{1}{2}$b•b•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，
∴S₁+S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（ab+c²），S₃+S₄=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²），
∵c²=a²+b²-2ab•cos∠C=a²+b²-2ab•cos60°，
∴a²+b²=c²+ab，
∴S₁+S₂=S₃+S₄．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题．