Question

3．如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=16，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作PQ⊥AC交AB于点P，交AD于点Q，将△APQ沿PQ折叠，点A落在点E处，当△BCE是等腰三角形时，AP的长为$\frac{15}{4}$或$\frac{195}{4}$．

Answer 1

分析 连接BD交AC于O，由四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，推出△AMP∽△AOB，①当CE=CB时，如图1，则CE=10，AE=6，AM=3，根据相似三角形的性质得到AP=$\frac{15}{4}$；②当BE=EC时，如图2，点E是BC的垂直平分线与AC的交点，则CF=5根据相似三角形的性质得到AP=$\frac{39×5}{8×4}$=$\frac{195}{32}$；③当BC=BE时，E与A重合；于是得到结论．

解答 解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵PQ⊥AC，AO=$\frac{1}{2}$AC=8，
∴PQ∥BD，
∴△AMP∽△AOB，
①当CE=CB时，如图1，则CE=10，AE=6，AM=3，
∵△AMP∽△AOB，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AM}{AO}$，
∴AP=$\frac{15}{4}$；
②当BE=EC时，如图2，点E是BC的垂直平分线与AC的交点，则CF=5，∵△CEF∽△CBO，
∴CE=$\frac{5×5}{4}$=$\frac{25}{4}$，∴AE=16-$\frac{25}{4}$=$\frac{39}{4}$，
∴AM=$\frac{39}{8}$，
∴AP=$\frac{39×5}{8×4}$=$\frac{195}{32}$；
③当BC=BE时，E与A重合；
综上所述：当△BCE是等腰三角形时，AP的长为$\frac{15}{4}$或$\frac{195}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$或$\frac{195}{4}$．

点评 本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．