Question

13．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c的对称轴是y轴，点D，P在抛物线上，A（0，2），D（0，1），PC⊥x轴于点C，CB∥AP，交x轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，四边形ABCP是什么特殊的四边形？证明你的结论；
（3）设点Q是x轴上一动点，当（2）中的四边形ABCP是正方形时，△DQP周长是否存在最小值，若存在，请直接写出△DQP周长最小时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后把D（0，1）代入y=$\frac{1}{4}$x²+c可求得c的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）先依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形ABCP是平行四边形，设点P的坐标是（m，$\frac{1}{4}$m²+1），则PC=$\frac{1}{4}$m²+1．然后依据两点间的距离公式可求得PA的长，从而得到PC=PA，故此可判断出四边形ABCP的形状；
（3）作点D关于x轴的对称点D′．连接PD′交x轴与点Q．由四边形APCB为正方形可知PA∥x轴，点B与点O重合．于是可求得点P的坐标，然后求得直线D′P的解析式，从而可求得点Q的坐标，最后由抛物线的对称性可求得点Q′的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴是y轴，
∴b=0．
把D（0，1）代入y=$\frac{1}{4}$x²+c得c=1． 
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1．
（2）四边形ABCP是菱形．
∵PC⊥x轴，AB⊥x轴，
∴PC∥AB．
又∵CB∥AP，
∴四边形ABCP是平行四边形．
设点P的坐标是（m，$\frac{1}{4}$m²+1），则PC=$\frac{1}{4}$m²+1．
过点P作PE⊥y轴于点E，则
∴PA²=PE²+AE²=|m|²+|（$\frac{1}{4}$m²+1）-2|²=$\frac{1}{16}$m⁴+$\frac{1}{2}$m²+1=（$\frac{1}{4}$m²+1）²．
∴PA=$\frac{1}{4}$m²+1．
∴PC=PA．
∴平行四边形ABCP是菱形．
（3）如图所示：作点D关于x轴的对称点D′．连接PD′交x轴与点Q．

∵四边形APCB为正方形，
∴∠APC=∠PCB=90°．
∴点PA∥x轴，点B与点O重合．
∴点P的纵坐标为2．
将y=2代入y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1得：$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1=2，
解得：x=±2．
∴点P（2，2）、P′（-2，2）．
∵点D′与点D关于x轴对称，
∴DQ=D′Q，D′（-1，0）．
∴当点D′、Q、P在一条直线上时，PQ+QD有最小值．
又∵DP的长度不变，
∴当点D′、Q、P在一条直线上时，△PDQ的周长最小．
设直线PD′的解析式为y=kx+b．
∵将点P、D′的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{3}{2}$，b=-1，
∴直线PD′的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-1．
将y=0代入得；$\frac{3}{2}$x-1=0，解得：x=$\frac{2}{3}$，
∴点Q的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．
∵点Q′关于点Q对称，
∴Q′（-$\frac{2}{3}$，0）．
综上所述，点Q的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）或Q′（-$\frac{2}{3}$，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、轴对称路径最短问题、平行四边形的判定、菱形的判定，明确当点D′、Q、P在一条直线上时，△PDQ的周长最小时解题的关键．