Question

15．如图，∠AOB=90°，OA=OB，C、D是$\widehat{AB}$上的两点，∠AOD＞∠AOC．
（1）求证：0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
（2）求证：1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
（3）锐角的正弦函数值随角度的增大而增大；
（4）锐角的余弦函数值随角度的增大而减小．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥OA于M，DN⊥⊥OA于N．根据正弦函数的定义得出sin∠AOC=$\frac{CM}{OC}$，sin∠AOD=$\frac{DN}{OD}$，根据旋转的性质得到0＜CM＜DN＜OB，又OC=OD=OB，利用不等式的性质得出sin0°＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜sin90°，即0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
（2）根据正弦函数的定义得出cos∠AOC=$\frac{OM}{OC}$，cos∠AOD=$\frac{ON}{OD}$，根据旋转的性质得到OA＞OM＞ON＞0，又OC=OD=OA，利用不等式的性质得出cos0°＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞cos90°，即1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
（3）根据（1）的结果即可得出结论；
（4）根据（2）的结果即可得出结论．

解答 （1）证明：如图，作CM⊥OA于M，DN⊥⊥OA于N．
则sin∠AOC=$\frac{CM}{OC}$，sin∠AOD=$\frac{DN}{OD}$，
∵∠AOD＞∠AOC，C、D是$\widehat{AB}$上的两点，
∴0＜CM＜DN＜OB，
∵OC=OD=OB，
∴sin0°＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜sin90°，
∴0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；

（2）证明：如图，∵cos∠AOC=$\frac{OM}{OC}$，cos∠AOD=$\frac{ON}{OD}$，
又∵∠AOD＞∠AOC，C、D是$\widehat{AB}$上的两点，
∴OA＞OM＞ON＞0，
∵OC=OD=OA，
∴cos0°＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞cos90°，
∴1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；

（3）锐角的正弦函数值随角度的增大而增大；

（4）锐角的余弦函数值随角度的增大而减小．
故答案为增大；减小．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．同时考查了圆的性质及正弦函数的定义．