Question

10．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE∥AC于E，DF∥AB交AC于F，连接EF．
（1）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°，且AB=AC时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由已知条件证出四边形AEDF是平行四边形，再由∠BAC=90°，即可得出四边形AEDF是矩形；
（2）由（1）得：当∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形，再证出DE=DF，即可得出四边形AEDF是正方形．

解答 解：（1）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
故答案为：∠BAC=90°；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°，且AB=AC时，四边形AEDF是正方形；理由如下：
由（1）得：当∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD是等腰直角三角形，
∵DE∥AC，
∴DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
同理：DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形；
故答案为：∠BAC=90°，且AB=AC．

点评 本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形和正方形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．