Question

13．如图，在正方形ABCD中，点P为直线AC上一点，连接BP，过P作PE⊥BP交直线CD于E．试证明：$\frac{BC+CE}{PC}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N，则∠PMB=∠PMC=∠PNE=90°，证明四边形PMCN是正方形，得出MC=CN，PM=PN，∠MPN=90°，PC=$\sqrt{2}$MC，由ASA证明△BPM≌△EPN，得出BM=EN，得出BC+CE=MC+CN=2MC，即可得出结论．

解答 证明：作PM⊥BC于M，作PN⊥CD于N，如图所示：
则∠PMB=∠PMC=∠PNE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ACB=∠ACD=45°，
∴四边形PMCN是矩形，PM=PN，
∴四边形PMCN是正方形，
∴MC=CN，PM=PN，∠MPN=90°，PC=$\sqrt{2}$MC，
∵PE⊥BP，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPM=∠EPN，
在△BPM和△EPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMB=∠PNE}&{\;}\\{PM=PN}&{\;}\\{∠BPM=∠EPN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△EPN（ASA），
∴BM=EN，
∴BC+CE=BM+MC+CE=EN+CE+MC=MC+CN=2MC，
∴$\frac{BC+CE}{PC}$=$\frac{2MC}{\sqrt{2}MC}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．