Question

9．观察下列各式：①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$；②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，…，请根据规律写出第n个式子：$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}$．．

Answer 1

分析 根据题意结合数字变化规律得出分子与分母之间的关系即可．

解答 解：∵①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$；②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，…，
∴第n个式子为：$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}$．
故答案为：$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}$．

点评 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键．