Question

如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．
（1）判断△CBP的形状，并说明理由；
（2）若OP=1，PA=

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，求线段BC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，即可证得△CBP是等腰三角形；
（2）由OP=1，PA=

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，利用勾股定理可求得OA的长，然后设BC=x，可得方程：x²+3²=（x+1）²，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）△CBP是等腰三角形．
理由：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠APO=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP，
∴CP=CB，
即△CBP是等腰三角形；

（2）∵OP=1，PA=

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，
∴OA=

PA2-OP2

=3，
∴OB=OA=3，
设BC=x，则OC=CP+OP=x+1，
在Rt△OBC中，BC²+OB²=OC²，
∴x²+3²=（x+1）²，
解得：x=4，
∴BC=4．

点评：此题考查了切线的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．