Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③BE²+CF²=EF²，④S_{四边形AEPF}=

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S_△ABC，⑤PF²-AF²=AE²-PE²，当∠EPF在?ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：利用旋转的性质可证明△PFA≌△PEB，则有BE=AF，可判定①②③④，利用勾股定理可判断⑤，可得出答案．

解答：解：∵P为BC中点，
∴AP=PB，AP⊥BC，
∵∠EPF=90°，
∴∠FPA+∠APE=∠APE+∠BPE，
∴∠FPA=∠BPE，
在△PFA和△PEB中，

∠FPA=∠BPE AP=BP ∠FAP=∠B

，
∴△PFA≌△PEB（ASA），
∴①正确；
当F旋转到点A时，EF=AB＞AP，
∴②不正确；
∵△PFA≌△PEB，
∴AF=BE，且AB=AC，
∴AE=CF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
∴BE²+CF²=EF²，
∴③正确；
∵△PFA≌△PEB，
∴S_△PFA=S_△PEB，
∴S_{四边形AEPF}=S_△ABP=

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S_△ABC，
∴④正确；
又在Rt△PEF和Rt△AEF中，
EF²=PE²+PF²=AE²+AF²，
∴PF²-AF²=AE²-PE²，
∴⑤正确；
综上可知正确的为①③④⑤共四个，
故选C．

点评：本题主要考查旋转的性质和全等三角形的判定和性质，掌握旋转前后的线段相等、角相等是解题的关键，注意勾股定理的应用．