Question

如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=BC，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于D点，DB交AC于F．
（1）求证：△DAB≌△DFC；
（2）若cos∠BAC=

2

3

，求

DA

DB

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,完全平方公式,完全平方式,等腰三角形的性质,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）易证BD=CD和∠DAB=∠DFC，即可证明△DAB≌△DFC，即可解题；
（2）根据余弦定理可以求得BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC和AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，根据AB=BC，可以求得

2

3

BD²=AD²+BD²-

4

3

AD•BD，因式分解即可求得AD，BD的大小关系，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DAB+∠DCB=180°，
∴∠DAE=∠DCB，
∴∠DAE=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴BD=CD，
∵AB=BC，
∴∠ADB=∠FDC，
∵∠DAB=∠DAC+∠BAC，∠DFC=∠DBC+∠BCA，∠BCA=∠BAC，
∴∠DAB=∠DFC，
在△DAB和△DFC中，

∠DAB=∠DFC ∠ADB=∠FDC BD=CD

，
∴△DAB≌△DFC（AAS）；
（2）解：∵∠BAC=∠BDC，∠ADB=∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC，
∵在△BDC中有BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∴整理得：BC²=

2

3

BD²，
∵△ADB中，AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，
∴整理得：AB²=AD²+BD²-

4

3

AD•BD，
∵AB=BC，
∴

2

3

BD²=AD²+BD²-

4

3

AD•BD，
整理得：3AD²+BD²-4AD•BD=0，
因式分解：（BD-3AD）（BD-AD）=0，
∵DA≠DB，
∴BD=3AD，
∴

DA

DB

=

1

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△DAB≌△DFC是解题的关键．