题目内容

19．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为顶点，连接OM，若y与x的部分对应值如表所示：
x…-103…
y…03/20…
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交于点C，点Q是直线BC下方抛物线上一点，点Q的横坐标为xQ．若S△BCQ≥$\frac{1}{2}$S△BOC，求xQ的取值范围；
（3）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，P（0，-1）为y轴上一点，E为抛物线上y轴左侧的一个动点，从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F．则当E点位置变化时，直线EF是否经过某个定点？如果是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

分析 （1）由抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A、B两点，（-1，0），（3，0），即可求得抛物线的解析式；
（2）首先取OB的中点P（$\frac{3}{2}$，0），连接CP，然后过点P作PQ∥BC交抛物线于Q，即为所求；首先求得直线BC的解析式，然后由平行线的性质，求得直线PQ的解析式，再联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即可求得答案；
（3）首先得到平移后的抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x2，再过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥y轴于N，易得Rt△EPM∽Rt△FPN，再联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，即可求得答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A、B两点，（-1，0），（3，0），
∴y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-3），
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x2+x+$\frac{3}{2}$；

（2）取OB的中点P（$\frac{3}{2}$，0），连接CP，
则S△PBC=$\frac{1}{2}$S△BOC，
过点P作PQ∥BC交抛物线于Q，即为所求；
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为：（0，$\frac{3}{2}$），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
∴设直线PQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+n，
∴-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$+n=0，
∴n=$\frac{3}{4}$，
∴直线PQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{-3±\sqrt{3}}{2}$，
若S△BCQ≥$\frac{1}{2}$S△BOC
则xQ的取值范围为：xQ≥$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$或xQ≤$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$；

（3）平移后的抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x2，
过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥y轴于N，
由反射可知：∠EPM=∠FPN，
∴Rt△EPM∽Rt△FPN，
∴$\frac{KM}{FN}$=$\frac{PM}{PN}$，
设E（x1，y1）、F（x2，y2），设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴$\frac{-{x}_{1}}{-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+1}{-1-{y}_{2}}$，
∴x1（1+y2）+x2（y1+1）=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
整理得x2+2kx+2b=0，
∴x1+x2=-2k，x1x2=2b，
∵x1（1+y2）+x2（y1+1）=x1（1+kx2+b）+x2（kx1+b+1）=0，
∴2bx1x2+（b+1）（x1+x2）=0，
∴2kb-2k=0，b=1，
∴直线EF的解析式为y=kx+1
∴直线EF的过定点（0，1）．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数的解析式以及函数的交点问题．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

练习册系列答案
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（2）非负数集合：{0，-（-3.14），$\frac{22}{7}$，2003，-（-6）　 …}；
（3）整数集合：{-5，0，2003，-（-6），-|-12| …}；
（4）非负整数集合：{0，2003，-（-6） …}；
（5）有理数集合：{-5，-$\frac{3}{4}$，0，-（-3.14），-2.4，$\frac{22}{7}$，2003，-1.99，-（-6），-|-12| …}．
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