Question

10．如图，已知半圆O的直径AB为8，P为OB的中点，C为半圆上一点，连结CP，若将CP沿射线AB方向平移至DE，若DE恰好与⊙O相切于点D，则平移的距离为$\sqrt{33}$-1．

Answer 1

分析 如图，过OM⊥CD于M，连接OD，则CM=DM，由DE是⊙O的切线，得到OD⊥DE，由平移的性质得到CD∥PE，CD=PE，根据平行线的性质得到∠1=∠2，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：如图，过OM⊥CD于M，连接OD，
则CM=DM，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵将CP沿射线AB方向平移至DE，
∴CD∥PE，CD=PE，
∴∠1=∠2，
∵∠DMO=∠ODE=90°，
∴△DMO∽△ODE，
∴$\frac{MO}{OD}=\frac{OD}{OE}$，
设CD=x，
∴$\frac{\frac{1}{2}x}{4}$=$\frac{4}{x+2}$，
∴x=$\sqrt{33}$-1，
∴平移的距离为$\sqrt{33}$-1．
故答案为：$\sqrt{33}$-1．

点评 本题考查了切线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．