Question

3．如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PB=3，DB=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得∠DEO=∠PBO，再根据PE⊥DE，从而可以解答本题；
（2）根据切线的性质和勾股定理可以求得⊙O的半径．

解答 （1）证明：∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠DEO=∠PBO，
∵DE⊥PE，
∴∠DEO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）由（1）知，PB是⊙O的切线，
∴∠PBD=90°，
∵PB=3，DB=4，
∴PD=5，
∵PC和PB都是⊙O的切线，
∴PC=PB=3，∠OCD=90°，
∴CD=2，
设⊙O的半径为x，则OC=x，OD=4-x，
则2²+x²=（4-x）²，
解得，x=$\frac{3}{2}$，
即⊙O的半径是$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查切线的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用切线的性质和勾股定理解答．