题目内容
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（-2$\sqrt{3}$，0），∠OAB=90°，∠AOB=30°，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤150°），在旋转过程中，点A、B的对应点分别为点A′、B′．（Ⅰ）如图1，当α=60°时，直接写出点A′（-$\sqrt{3}$，3）、B′（0，4）的坐标；
（Ⅱ）如图2，当α=135°时，过点B′作AB的平行线交AA′延长线于点C，连接BC，AB′．
①判断四边形AB′CB的形状，并说明理由，
②求此时点A′和点B′的坐标；
（Ⅲ）当α由30°旋转到150°时，（Ⅱ）中的线段B′C也随之移动，请求出B′C所扫过的区域的面积？（直接写出结果即可）．
分析 （Ⅰ）如图1中，作A′E⊥OB′于E．解直角三角形求出EO，A′E即可解决问题；
（Ⅱ）①如图2中，结论：四边形AB′CB是平行四边形．只要证明B′C∥AB，B′C=AB；
②过点A′作A′E⊥x轴于E．过点B′作B′F⊥A′E于F，解直角三角形求出OE、EF、B′F即可；
（Ⅲ）B′C扫过的面积=S平行四边形B′B″C″C′，由此计算即可；
解答 解：（Ⅰ）如图1中，作A′E⊥OB′于E．
在Rt′△OA′B′中，∵∠A′OB′=30°，OA′=2$\sqrt{3}$，
∴cos30°=$\frac{OA′}{OB′}$，
∴OB′=4，
∴B′（0，4），
在Rt△OA′E中，∵OA′=2$\sqrt{3}$，
∴A′E=$\sqrt{3}$，OE=$\sqrt{3}$A′E=3，
∴A′（-$\sqrt{3}$，3）．
故答案为（-$\sqrt{3}$，3），（0，4）．
（Ⅱ）①如图2中，结论：四边形AB′CB是平行四边形．
理由：∵B′C∥AB，
∴∠B′CA=∠BAC，
∵∠BAC+∠CAO=90°，
∴∠B′CA′+∠CAO=90°，
又∵∠B′A′C+∠OA′A=90°，且旋转得到OA=OA′，则∠CAO=∠OA′A，
∴∠B′CA′=∠B′A′C，
∴B′C=B′A′，
又∵A′B′=AB，
∴B′C=AB，
∴四边形AB′CB是平行四边形．
②过点A′作A′E⊥x轴于E．
由A（-2$\sqrt{3}$，0），可得OA=2$\sqrt{3}$，
又∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴AB=2，OB=4，则OA′=2$\sqrt{3}$，A′B′=2，
由∠AOA′=135°，得到∠A′OE=45°，
∴OE=A′E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA′=$\sqrt{6}$，
∴点A′（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$），
过点B′作B′F⊥A′E于F，
由∠EA′O=45°，得∠EA′B′=45°，
∴B′F=A′F=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，OE+B′F=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∴点B′（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．
（Ⅲ）如图3中，
B′C扫过的面积=S平行四边形B′B″C″C′=6×2=12．
点评 本题考查三角形综合题、旋转变换、解直角三角形、锐角三角函数、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{6}$ | D． | $\frac{1}{9}$ |
实践操作
经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具：甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套．
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．