Question

4．如图，长方形ABCD的长AB、宽CB分别为a米、b米，a、b满足2|a-4|+|b-2|=0，一动点P从A出发以1米/秒的速度沿A→D→C→B→A运动，另一动点Q从B出发以2米/秒的速度沿B→C→D→A→B运动，设P、Q同时出发，运动的时间为t．
（1）求a、b的值；
（2）用含t的式子表示△APQ的面积（写推理过程）；
（3）若点P、Q相遇后点P沿原路立即返回，当点Q运动到距离A点$\frac{1}{3}$米处时，求此时点P距A点多远？

Answer 1

分析 （1）根据非负数，几个非负数的和是0，则每个数等于0，即可求得a和b的值；
（2）根据P和Q的位置对t进行讨论，然后利用三角形的面积公式求解；
（3）求出点Q运动到距离A点$\frac{1}{3}$米处时需要的时间t，求得DP的长，然后利用勾股定理求解．

解答 解：（1）根据题意得：a-4=0且b-2=0，解得：a=4，b=2；
（2）当0≤t≤1时，P在AD上，Q在BC上，AQ=t（米）．
则S_△APQ=$\frac{1}{2}$×t×4=2t；
当1＜t≤2时，P在AD上，Q在CD上，CQ=2t-2，则S_△APQ=$\frac{1}{2}$×t×（2t-2）=t²-t；
当2＜t＜$\frac{8}{3}$时，P和Q都在CD上，P在Q的左边，DP=t-2，CQ=2t-2，则PQ=4-（t-2）-（2t-2）=8-3t，S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2（8-3t）=8-3t；
当$\frac{8}{3}$≤t≤3时，P和Q都在CD上，P在Q的右边，DP=t-2，CQ=2t-2，则PQ=（t-2）+（2t-2）-4=3t-8，S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2（3t-8）=3t-8；
当3＜t≤4时，P在CD上，Q在AD上，AQ=8-2t，DP=6-2t，则S_△APQ=$\frac{1}{2}$×（8-2t）×（6-2t）=2t²-14t+24；
当4＜t≤6时，Q在AB上，P在CD上，AQ=12-2t，则S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2×（12-2t）=12-2t；
当6≤t≤8时，Q在B点，BP=8-t，则S_△APQ=$\frac{1}{2}$×4×（8-t）=16-2t；
当8≤t≤12时，Q在B点，P在AB上，PQ=t-8，则S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2×（t-8）=t-8；
（3）点Q运动到距离A点$\frac{1}{3}$米处时，Q在AD上，运动的时间是$\frac{8-\frac{1}{3}}{2}$=$\frac{23}{6}$（秒），
当P运动$\frac{23}{6}$秒时，DP=$\frac{23}{6}$-2=$\frac{11}{6}$（米）．
则PA=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{11}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{265}}{6}$（米）．

点评 本题考查了矩形的性质，以及三角形的面积公式，根据P和Q的位置对t进行正确讨论是关键．