Question

20．如图，△ABD中，点E、C分别在AB、AD上，BC与DE相交于点O，若∠1=∠2．求证：
（1）△BOD∽△EOC；
（2）△ACE∽△ABD．

Answer 1

分析 （1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似，由∠1=∠2，∠BOE=∠DOC可判断△BOE∽△DOC，则$\frac{BO}{DO}$=$\frac{EO}{CO}$，利用比例性质得$\frac{BO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，加上∠BOD=∠COE，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△BOD∽△EOC；
（2）与（1）证明方法一样：由∠1=∠2，∠BAC=∠DAE可证明△ABC∽△ADE，则$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，利用比例性质得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，加上∠CAE=∠BAD，则可判断△ACE∽△ABD．

解答 （1）证明：∵∠1=∠2，∠BOE=∠DOC，
∴△BOE∽△DOC，
∴$\frac{BO}{DO}$=$\frac{EO}{CO}$，
∴$\frac{BO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，
而∠BOD=∠COE，
∴△BOD∽△EOC；
（2）证明：∵∠1=∠2，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，
而∠CAE=∠BAD，
∴△ACE∽△ABD．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．