Question

10．A是⊙O外一点，直线AO交⊙O于C，D两点，E是⊙O上的一点（不与C，D重合），连接AE交⊙O于点B，AB=OC．
（1）当点B在线段AE上时，如图1所示，求∠DOE与∠A之间的关系；
（2）当点E在线段AB上时，如图2所示，则（1）中的结论还成立吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OB，则OB=OC，根据等边对等角得出∠1=∠A，∠2=∠E，进而根据三角形外角的性质求得∠E=2∠A，得出∠DOE=∠E+∠A=3∠A；
（2）连接OB，则OB=OC，根据等边对等角得出∠AOB=∠A，∠OBE=∠OEB，进而根据三角形内角和定理求得即可求得∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=180°-∠AOB+∠BOE=180°-∠A+4∠A-180°=3∠A．

解答 解：（1）∠DOE=3∠A；
连接OB，则OB=OC，
∵AB=OC．
∴OB=AB，
∴∠1=∠A，
∵OE=OB，
∴∠2=∠E，
∵∠2=∠1+∠A=2∠A，
∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠E+∠A=3∠A；
（2）成立；
连接OB，则OB=OC，
∵AB=OC．
∴OB=AB，
∴∠AOB=∠A，
∴∠B=180°-2∠A，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠BOE=180°-2∠B=180°-2（180°-2∠A）=4∠A-180°，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=180°-∠AOB+∠BOE=180°-∠A+4∠A-180°=3∠A．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．