Question

5．如图，△ABC中，D、E分别是AB，AC边上的中点，连接DE并延长使EF=DE，连接DC、CF、AF
（1）四边形ADCF时怎样的四边形？证明你的结论；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？

Answer 1

分析 （1）根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”推知四边形ADCF是平行四边形．
（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”可以推导：AC=BC．

解答 解：（1）∵点E是边AC的中点，
∴AE=CE．
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．

（2）当AC=BC时，平行四边形ADCF是矩形．
理由：∵四边形ADCF是矩形，
∴AC=DF．
∵在△ABC中，D、E分别是AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC．
又∵EF=DE，
∴DF=BC，
∴AC=BC．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．