Question

10．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M为BC的中点．

点评 本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．