Question

9．如图，在平面直角坐标系中，A（-6，0），B（4，0），C为y轴正半轴上一点，且∠ACB=45°，求C点坐标．

Answer 1

分析 如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．

解答 解：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（-6，0），
∴AB=10，E（-1，0）．
如图所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=$\frac{1}{2}$AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5$\sqrt{2}$；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，

∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=$\frac{1}{2}$∠BPA=45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5$\sqrt{2}$，由勾股定理得：CF=$\sqrt{P{C}^{2}-P{F}^{2}}$=7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴点C坐标为（0，12）．

点评 本题主要考查坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．