Question

4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，DE交对角线AC于点G．
（1）求证：DG²=GF•GE；
（2）求证：$\frac{G{C}^{2}}{G{A}^{2}}$=$\frac{GF}{GE}$．

Answer 1

分析 （1）运用平行四边形的性质证明：△ADG∽△CFG，△DGC∽△EGA，列出比例式即可解决问题；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，得到DC∥AE，证得△CDG∽△AGE，得到比例式，再平方，通过化简即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AE，
∴△ADG∽△CFG，△DGC∽△EGA，
∴DG：GF=AG：GC，GE：DG=AG：GC，
∴DG：GF=GE：DG，
即DG²=GE•GF；
证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AE，
∴△CDG∽△AGE，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DG}{GE}$，
∴$\frac{C{G}^{2}}{A{G}^{2}}=\frac{D{G}^{2}}{G{E}^{2}}$，
由（1）证得DG²=GE•GF；
∴$\frac{C{G}^{2}}{A{G}^{2}}$=$\frac{GE•GF}{G{E}^{2}}$=$\frac{GF}{GE}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质，运用平行四边形的性质证明两对相似三角形是解题的关键．