Question

11．在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED=EC．
（1）当点E为AB中点时，如图①，AE=DB（填“＞”“＜”或“=”）
（2）当点E为AB上任意一点时，如图②，AE=DB（填“＞”“＜”或“=”），并说明理由．（提示：过E作EF∥BC，交AC于点F）

Answer 1

分析 （1）先证AE=BE，再证∠D=∠DEB，得出DB=BE，即可得出DB=AE；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，得出AE=EF，再证明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可证出AE=DB．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴DB=BE，
∴DB=AE；
故答案为：=；
（2）DB=AE成立；理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于F，如图2所示：则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠CEF=∠ECD，
∵∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∠DBE=120°，
∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠EFC=120°，
∴BE=CF，∠DBE=∠EFC，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠CEF，
在△DBE和△EFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CEF}&{\;}\\{∠DBE=∠EFC}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=DB；
故答案为：=．

点评 本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．