Question

16．如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB=DC．
（1）点O是AC、BD的中点吗？说明你的理由；
（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，OE=OF吗？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由AB∥DC，根据平行线的性质，可得∠A=∠C，∠B=∠D，又由AB=DC，即可利用ASA判定△AOB≌△COD，继而证得结论；
（2）由（1），可直接利用ASA判定△AOE≌△COF，继而证得OE=OF．

解答 解：（1）点O是AC、BD的中点；理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
在△AOB和△COD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠B=∠D}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OA=OC，OB=OD，
即点O是AC、BD的中点；
（2）OE=OF；理由如下：
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意利用平行线的性质，证得三角形全等是解此题的关键．