Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D交⊙O于E
（1）若∠ACB=120°，求证：CE=⊙O的半径．
（2）连OC，OP⊥OC交CB的延长线于P，若⊙O的半径为5cm，弦BC=6cm，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB+∠BEA=180°，∠ACB=120°，得∠BAE=60°，∠EBD=30°，根据∠EOC=2∠EBC即可解决问题．
（2）作OM⊥BC于M，利用△COM∽△CPO，得$\frac{CO}{CP}=\frac{CM}{CO}$，求出PC即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接OE、BE、EC，
∵∠ACB+∠BEA=180°，∠ACB=120°，
∴∠BAE=60°，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB=90°，∠EBD=90°-∠BAE=30°，
∴∠EOC=2∠EBC=60°，
∵OE=OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴EC=OC=⊙O的半径．
（2）解：作OM⊥BC于M，
∵BC=6，OC=5，
∴MB=MC=3，OM=4，
∵∠OMC=∠COP=90°，∠MCO=∠PCO，
∴△COM∽△CPO，
∴$\frac{CO}{CP}=\frac{CM}{CO}$，
∴$\frac{5}{CP}=\frac{3}{5}$，
∴CP=$\frac{25}{3}$，
∴PB=CP-BC=$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查三角形的外接圆的有关知识、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用圆心角等于同弧所对的圆周角的2倍得到∠EOC=2∠EBC=60°，属于中考常考题型．