Question

6．如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，AH⊥CD，垂足为H，HM平分∠AHC，HM交AB于M．若AC=3，BC=1，则MH长为（　　）

• A． 1
• B． 1.5
• C． 0.5
• D． 0.7

Answer 1

分析 延长HM交AC于K，首先证明△AHC是等腰直角三角形，再证明点M是圆心，求出HK、MK即可解决问题．

解答 解：延长HM交AC于K．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵AH⊥CD，
∴∠AHC=90°，
∴∠HAC=∠HCA=45°，
∴HA=HC，
∵HM平分∠AHC，
∴HK⊥AC，AK=KC
∴点M就是圆心，
∵AK=KC，AM=MB，
∴KM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
在RT△ACH中，∵AC=3，AK=KC，∠AHC=90°，
∴HK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∴HM=HK-KM=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1．
故选A．

点评 本题考查垂径定理、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，解题的关键是证明点M是圆心，属于中考常考题型．