Question

10．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足$\sqrt{-（a+2）^{2}}$-（b-6）²=0．
（1）求OA、0B的长度；
（2）若P从点B出发沿着射线BO方向运动（点P不与原点重合），速度为每秒2个单位长度，连接AP，设点P的运动时间为t，△AOP的面积为S．请你用含t的式子表示S．
（3）在（2）的条件下，点Q从A点沿x轴正方向运动，点Q与点P同时运动，Q点速度为每秒1个单位长度；当S=4时，求△APQ与以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积之比的值．

Answer 1

分析 （1）利用非负性和二次根式的意义得出结论；
（2）分两种情况讨论计算，分别表示出OP和OP'，最后用面积公式即可，
（3）分两种情况求出满足条件的时间t，进而OQ和OQ'最后用面积公式即可得出结论．

解答 解：∵$\sqrt{-（a+2）^{2}}$-（b-6）²=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴A（-2，0），B（0，6）；
∴OA=2，OB=6；
（2）如图1，

∵OB=6，
∴t=6÷2=3，
①当点P在y轴正半轴上时，即：0＜t＜3，
由运动知，BP=2t，
∵OA=2，
∴OP=OB-BP=6-2t，
∴S=S_△AOP=$\frac{1}{2}$OA•OP=$\frac{1}{2}$×2OP=OP=6-2t，
②当点P在y轴负半轴时，即：t＞3，
由运动知，BP'=2t，
∴OP'=BP'-OB=2t-6，
∴S=S_△AOP'=$\frac{1}{2}$OA•OP'=$\frac{1}{2}$×2OP'=OP'=2t-6，
即：S=$\left\{\begin{array}{l}{6-2t（0＜t＜3）}\\{2t-6（t＞3）}\end{array}\right.$，
（3）如图2，

①当0＜t＜3时，∵S_△AOP=4，
∴6-2t=4，
∴t=1，
∴点Q从A点沿x轴正方向1秒，OP=6-2=4，
∴AQ=1，
∵OA=2，
∴OQ=1，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$×OP=2；
S_{四边形ABPQ}=S_△AOB-S_△POQ=$\frac{1}{2}$×OA×OB-$\frac{1}{2}$OQ×OP=6-$\frac{1}{2}$×1×4=4，
∴△APQ与以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积之比1：2；
②当t＞3时，∵S_△AOP=4，
∴2t-6=4，
∴t=5，
∴点Q从A点沿x轴正方向5秒，OP'=4，AQ'=5，
∵OA=2，
∴OQ'=AQ'-OA=3，
∴S_△AP'Q'=$\frac{1}{2}$OQ'•OP'=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_{四边形ABQ'P}'=S_△AP'Q'+S_△ABQ'=6+$\frac{1}{2}$×3×4=6+6=12，
∴△AP'Q'与以A、B、P'、Q'为顶点的四边形的面积之比1：2；
∴当S_△AOP=4时，S_△APQ的值为2或6．△APQ与以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积之比1：2

点评 此题是三角形综合题，主要考查了非负性，三角形的面积公式，解本题的关键是分类讨论思想，是一道比较简单的题目．