Question

18．已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°．
（1）如图，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
（2）点F在射线OB上，
①若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA=3∠AOD，请判断∠FOE和∠EOC的数量关系并说明理由；
②若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠FOA=2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH=∠AOC时，则n=68°或164°．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得出结论；
（2）分两种情况，画出图形，找出角之间的关系即可求出结论；
（3）分三种情况同（2）的方法即可得出结论．

解答 解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∵∠DOE=80°．
∴∠COE=∠DOE-∠COD=20°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=120°+20°=140°
∴∠BOE=180°-∠AOE=40°，
（2）①当OE在OC的右侧，即：0°＜n＜60°
如图，

∵∠AOC=120°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=120°-∠AOD，
∵∠DOE=80°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=80°-（120°-∠AOD）=∠AOD-40°，
∵∠FOA=3∠AOD，
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=3∠AOD-（∠AOC+∠COE）
=3∠AOD-（120°+∠AOD-40°）=3∠AOD-80°-∠AOD=2∠AOD-80°=2（∠AOD-40°）=2∠COE；
当OE在OC左侧时，即：60°＜n＜180°，
如图2，

∵∠AOC=120°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=120°-∠AOD，
∵∠DOE=80°，
∴∠COE=∠COD-∠DOE=120°-∠AOB-80°=40°-∠AOD；
∵∠FOA=3∠AOD，
∴∠EOF=∠AOC-∠AOF-∠COE=120°-3∠AOD-（40°-∠AOD）
=80°-2∠AOD=2（40°-∠AOD）=2∠COE，
即：∠EOF=2∠COE．
（3）当OE在OC的右侧，如图3，

设∠COH=∠HOE=α，
∴∠COD=∠DOE-∠COE=80°-2α，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=120°-（80°-2α）=40°+2α，
∵∠FOA=2∠AOD=2（40°+2α）=80°+4α，
∵∠BOF=180°-∠FOA=180°-∠FOA=180°-（80°+4α）=100°-4α，
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=60°-2α，
∴∠FOH=∠HOE+∠BOE+∠BOF
=α+（60°-2α）+（100°-4α）
=160°-5α，
∵∠FOH=∠AOC=120°，
∴160°-5α=120°，
∴α=8°，
∴n=∠BOF=100°-4α=68°，
当OE与OC重合（OH，OE，OC为同一条射线），
如图4，

此时：∠FOH=160°≠∠AOC，舍去；
当OE在OC的左侧时，如图6，

设∠COH=∠HOE=α，
∴∠COD=∠DOE+∠COE=80°+2α，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=40°-2α，
∵∠FOA=2∠AOD=2（40°-2α）=80°-4α，
∴∠FOH=∠AOC-∠COH+∠AOF=200°-5α，
∵∠FOH=∠AOC，
∴200°-5α=120°，
∴α=16°，
∵∠BOF=180°-∠FOA=180°-（80°-4α）=100°+4α，
∴n=∠BOF=100°+4α=164°．
∴n=68°或n=164°．

点评 此题是角的计算，主要考查了角平分线，综合性较强，考查了学生分析问题的能力，是否能根据题意，严谨地画出图形是解决此类问题的关键．