题目内容
5．
将直角边长为6的等腰直角△AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x轴，y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点，将（1）中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线y=2x-$\frac{7}{4}$上，求此时抛物线的解析式．
分析 （1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以设抛物线方程为两点式：y=a（x+3）（x-6），然后把点A的坐标代入该函数解析式即可求得系数a的值；
（2）利用相似三角形的性质得出S△PCE=$\frac{（m-6）^{2}}{3}$，进而求出△APE的面积S，即可得出点P坐标；
（3）利用抛物线上不动点的定义以及不动点的个数得出方程h-k=$\frac{3}{4}$①，再用平移后的抛物线的顶点在直线y=2x-$\frac{7}{4}$上，得出方程k=2k-$\frac{7}{4}$②，联立解方程组即可．
解答 解：（1）∵B（-3，0），C（6，0），设抛物线为y=a（x+3）（x-6），过A（0，6）
∴6=a（0+3）（0-6），
解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$（x+3）（x-6），
即y=-$\frac{1}{3}$x2+x+6；
（2）设P（m，0），
如图，
∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴$\frac{{S}_{△PCE}}{{S}_{△BCA}}=\frac{P{C}^{2}}{B{C}^{2}}$，
$\frac{{S}_{△PCE}}{27}=\frac{（m-6）^{2}}{81}$，
∴S△PCE=$\frac{（m-6）^{2}}{3}$，
∴S=S△APC-S△PCE=-$\frac{1}{3}$m2+m+6，
=-$\frac{1}{3}$（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S有最大值为$\frac{27}{4}$；
∴P（$\frac{3}{2}$，0）；
（3）设平移后的抛物线的顶点为G（h，k），
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-h）2+k，
由抛物线的不动点的定义，得，t=-$\frac{1}{3}$（t-h）2+k，
即：t2+（3-2h）t+h2-3k=0，
∵平移后，抛物线只有一个不动点，
∴此方程有两个相等的实数根，
∴△=（3-2h）2-4（h2-3k）=0，
∴h-k=$\frac{3}{4}$①，
∵顶点在直线y=2x-$\frac{7}{4}$上，
∴k=2k-$\frac{7}{4}$②，
∴联立①②得，h=1，k=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-1）2+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{12}$，
点评 此题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质和判定，函数的极值，新定义及一元二次方程根的情况，解本题的关键是理解新定义，是一道中等难度的题目．
如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，BC=4cm，AD是∠CAB的平分线，与BC交于D，DE⊥AB于E，则
如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠ABE=45°，AD与BE交于点F，连接CF．