题目内容
2．
如图，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点C（2，n），过点C作CD⊥x轴，垂足为D．（1）求k的值；
（2）将线段OD绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为β（0°＜β＜90°）
①若直线OE与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点M，设线段OM的长为m，当β=60°时，求m2的值；
②连接EA、EB，当EA+$\frac{2}{3}$EB最小时，请写出求cosβ值的解题思路，可以不写出计算结果．
分析 （1）先确定出点C的坐标，代入反比例函数解析式中即可得出k；
（2）①先确定出直线OE的解析式，设出点M坐标，代入反比例函数解析式中，直接求出n的平方，即可求出m的值；
（3）先判断出EA+$\frac{2}{3}$EB最小时的条件，判断出过点A的直线和以O为圆心，2为半径的圆先求出取到最小．
解答 解：（1）∵点C（2，n）在直线y=-$\frac{3}{4}$x+3上，
∴n=-$\frac{3}{4}$×2+3=$\frac{3}{2}$，
∴C（2，$\frac{3}{2}$），
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=2×$\frac{3}{2}$=3，
（2）①如图1，
过点E作EF⊥OA，
由旋转知，OE=OD=2，∠EOF=60°，
∴OF=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴E（1，$\sqrt{3}$），
∴直线OE的解析式为y=$\sqrt{3}$x，
设点M（n，$\sqrt{3}$n，）
由（1）知，k=3，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵点M在反比例函数上，
∴$\sqrt{3}$n=$\frac{3}{n}$，
∴n2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m2=OM2=n2+（$\sqrt{3}$n）2=4n2=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
②如图2，
设点E（p，q），
∵B（0，3），
∴$\frac{2}{3}$EB=$\frac{2}{3}$$\sqrt{{p}^{2}+（q-3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{3}p）^{2}+（\frac{2}{3}q-2）^{2}}$，
（$\frac{2}{3}$p，$\frac{2}{3}$q）记作点E'，表示线段OE距离原点的距离是$\frac{2}{3}$OE，
（0，2）记作B'，
∴$\sqrt{（\frac{2}{3}p）^{2}+（\frac{2}{3}q-2）^{2}}$表示的是点B'到点E'的距离，
当B'E'⊥OE，AE⊥OE时，EA+$\frac{2}{3}$EB最小，
在Rt△AOE中，OA=4，OC=2，
∴cosβ=cos∠AOE=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平面坐标系内，两点间的距离公式，确定出k是解本题的关键，判断出EA+$\frac{2}{3}$EB最小时的条件是解本题的难点．
考前必练系列答案
综合与探究
如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠ABE=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．