Question

20．（1）如图（1），BD平分∠ABC，DE∥BC，且AE=BE，求证：AB=BC；
（2）如图（2），∠1=∠2，∠3=∠4，EF过点O，且EF∥BC，求证：EF=BE+CF；
（3）如图（3），∠1=∠2，∠3=∠4，EF过点O，且EF∥BC，求证：EF=BE-CF．

Answer 1

分析 （1）欲证明AB=BC，只要证明∠A=∠C即可．
（2）欲证明EF=BE+CF，只要证明EO=EB，FO=FC即可．
（3）欲证明EF=BE-CF，只要证明EO=EB，FO=FC即可．

解答 证明：（1）如图1中，∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠ADE=∠C
∵BD平分∠EBC，
∴∠DBC=∠DBE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，∵AE=BE，
∴EA=ED，
∴∠A=∠EDA，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC．

（2）如图2中，∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠2，∠FOC=∠3，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠EOB，∠4=∠FOC，
∴EO=EB，FO=FC，
∴EF=EO+OF=EB+CF．

（3）如图3中，∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠2，∠FOC=∠3，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠EOB，∠4=∠FOC，
∴EO=EB，FO=FC，
∴EF=EO-OF=EB-CF．

点评 本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定解决问题，属于中考常考题型．