Question

19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′-RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′-RE′|的最大值；
（3）如图2，已知x轴上一点P（$\frac{9}{2}$，0），现以P为顶点，2$\sqrt{3}$为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M、F′N，用二次函数的顶点坐标求出当m=3时，ME′+NF′的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R在直线E′F′与y轴的交点时，|RF′-RE′|的最大值，从而求出R点的坐标及|RF′-RE′|的最大值；
（3）分类讨论Q点在∠WAB的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相应线段，在求出△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为S．

解答 解：（1）令y=0，则-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=0，
解方程得：x=6或x=-2，
∴A（-2，0），B（6，0），
又y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²+4$\sqrt{3}$，
又顶点C（2，4$\sqrt{3}$），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，代入B、C两点坐标得：
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{2k+b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$；
（2）如图1，
∵点E（m，0），F（m+2，0），
∴E′（m，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$），F′（m+2，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+4$\sqrt{3}$），
∴E′M=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$m+6$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+2$\sqrt{3}$m-3$\sqrt{3}$，
F′N=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+4$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$m+4$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m，
∴E′M+F′N=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+2$\sqrt{3}$m-3$\sqrt{3}$+（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²+3$\sqrt{3}$m-3$\sqrt{3}$，
当m=-$\frac{3\sqrt{3}}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}$=3时，E′M+F′N的值最大，
∴此时，E′（3，$\frac{15\sqrt{3}}{4}$）F′（5，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），
∴直线E′F′的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{27\sqrt{3}}{4}$，
∴R（0，$\frac{27\sqrt{3}}{4}$），
根据勾股定理可得：RF′=10，RE′=6，
∴|RF′-RE′|的值最大值是4；
（3）由题意得，Q点在∠WAB的角平分线或外角平分线上，
①如图2，当Q点在∠WAB的角平分线上时，
Q′M=Q′N=$\sqrt{3}$，AW=$\sqrt{31}$，
∵△RMQ′∽△WOA，
∴$\frac{RQ′}{WA}=\frac{MQ′}{AO}$
∴RQ′=$\frac{\sqrt{93}}{2}$，
∴RN=$\frac{\sqrt{93}}{2}$+$\sqrt{3}$，
∵△ARN∽△AWO，
∵$\frac{AO}{AN}=\frac{WO}{RN}$
∴AN=$\frac{2+\sqrt{31}}{3}$，
∴DN=AD-AN=4-$\frac{2+\sqrt{31}}{3}$=$\frac{10-\sqrt{31}}{3}$，
∴S=$\frac{131\sqrt{3}-20\sqrt{93}}{27}$；
②如图3，当Q点在∠WAB的外角平分线上时，
∵△Q′RN∽△WAO，
∴RQ′=$\frac{\sqrt{93}}{2}$，
∴RM=$\frac{\sqrt{93}}{2}$-$\sqrt{3}$，
∵△RAM∽△WOA，
∴AM=$\frac{\sqrt{31}-2}{3}$，
在RtQ′MP′中，MP′=$\sqrt{3}$Q′M=3，
∴AP′=MP′-AM=3-$\frac{\sqrt{31}-2}{3}$=$\frac{11-\sqrt{31}}{3}$，
在Rt△AP′S中，P′S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{11-\sqrt{31}}{3}$，
∴S=$\frac{76\sqrt{3}-11\sqrt{93}}{12}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的三边关系，三角形相似的判定与性质以及数形结合和分类讨论思想的综合运用，此题牵扯知识面广，综合性强，难度较大．