我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形 .例如图1.图2.图3中.AF.BE是△ABC的中线.AF⊥BE.垂足为P.像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形 .设BC=a.AC=b.AB=c．特例探索(1)如图1.当∠ABE=45°.c=2$\sqrt{2}$时.a=2$\sqrt{5}$.b=2$\sqrt{5}$．如图2.当∠ABE=30� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2$\sqrt{2}$时，a=2$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=2$\sqrt{13}$，b=2$\sqrt{7}$．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²，b²，c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在?ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的长．

分析（1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，再由勾股定理得到结果；
（2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论．
（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC=2$\sqrt{5}$，∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．或构造出“中垂三角形”，利用（2）结论计算即可．

解答解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=BC=2$\sqrt{5}$，
∴a=b=2$\sqrt{5}$，
如图2，连接EF，
同理可得：EF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴$\frac{PF}{AP}=\frac{PE}{PB}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2$\sqrt{3}$，
∴PF=1，PE=$\sqrt{3}$，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE=$\sqrt{7}$，BF=$\sqrt{13}$，
∴a=2$\sqrt{13}$，b=2$\sqrt{7}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{13}$，2$\sqrt{7}$；

（2）猜想：a²+b²=5c²，
如图3，连接EF，
设∠ABP=α，
∴AP=csinα，PB=ccosα，
由（1）同理可得，PF=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{csinα}{2}$，PE=$\frac{1}{2}PB$=$\frac{ccosα}{2}$，
AE²=AP²+PE²=c²sin²α+$\frac{{{c}^{2}cos}^{2}α}{4}$，BF²=PB²+PF²=$\frac{{{c}^{2}sin}^{2}α}{4}$+c²cos²α，
∴${（\frac{b}{2}）}^{2}$=c²sin²α+$\frac{{{c}^{2}cos}^{2}α}{4}$，${（\frac{a}{2}）}^{2}$=$\frac{{{c}^{2}sin}^{2}α}{4}$+c²cos²α，
∴$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{b}^{2}}{4}$=$\frac{{{c}^{2}sin}^{2}α}{4}$+c²cos²α+c²sin²α+$\frac{{{c}^{2}cos}^{2}α}{4}$，
∴a²+b²=5c²；

（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2$\sqrt{5}$，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=BF=CF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
在△AEH和△CFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠FCH}\\{∠AHE=∠FHC}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CFH，
∴EH=FH，
∴EP，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF²+EF²=5AE²，
∴AF²=5${（\sqrt{5）}}^{2}$-EF²=16，
∴AF=4．
或连接F与AB的中点M，证MF垂直BP，构造出“中垂三角形”，因为AB=3，BC=1/2AD=根号5，根据上一问的结论，直接可求AF．