题目内容

4．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（$\sqrt{5}$≈2.24，结果保留一位小数）

分析 （1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式$\frac{AQ}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{QE}{BC}$，求得PE=$\frac{3}{5}t$，QE=$\frac{6}{5}t$，根据勾股定理得到PQ2=QE2+PE2，求出PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t，当Q与B重合时，PQ的值最大，于是得到当t=5时，PQ的最大值=3$\sqrt{5}$；
（2）由三角形的面积公式即可求得；
（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况①当CQ=CP时，②当PQ=CQ时，③当PQ=PC时，列方程求解即可．

解答 解：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，
∵∠C=90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{QE}{BC}$，
∵AQ=2t，AP=t，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴$\frac{2t}{10}=\frac{t+PE}{8}=\frac{QE}{6}$，
∴PE=$\frac{3}{5}t$，QE=$\frac{6}{5}t$，
∴PQ2=QE2+PE2，
∴PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t，
当Q与B重合时，PQ的值最大，
∴当t=5时，PQ的最大值=3$\sqrt{5}$；

（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=S△AQP，
当Q在AB边上时，S=$\frac{1}{2}$AP•QE=$\frac{1}{2}$t•$\frac{6}{5}t$=${\frac{3}{5}t}^{2}$，（0＜t≤5）
当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，
∴S四边形ABQP=S△ABC-S△PQC=$\frac{1}{2}$×8×6-$\frac{1}{2}$（8-t）•（16-2t）=-t2+16t-40，（5＜t≤8）；
∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式是：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}{t}^{2}（0＜t≤5）}\\{-{t}^{2}+16t-40（5＜t≤8）}\end{array}\right.$．

（3）存在．
当点Q在AB边上时，如图2，连接CQ，PQ，
由（1）知QE=$\frac{6}{5}t$，CE=AC-AE=8-$\frac{8}{5}t$，PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t，
∴CQ=$\sqrt{{QE}^{2}{+CE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{6}{5}t）}^{2}{+（8-\frac{8}{5}t）}^{2}}$=$\sqrt{{4t}^{2}-\frac{128}{5}t+64}$=2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$，
①当CQ=CP时，
即：2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$=8-t，
解得；t=$\frac{16}{5}$，
②当PQ=CQ时，
即；$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t=2$\sqrt{{t}^{2}-\frac{32}{5}t+16}$，
解得：t=$\frac{40}{11}$，t=8（不合题意舍去），
③当PQ=PC时，
即$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t=8-t，
解得：t≈3.4；
当点Q在BC边上时，
∵∠ACB=90°，
∴△PQC是等腰直角三角形，
∴CQ=CP，
∴8-t=16-2t，
∴t=8，∴P，Q，C重合，不合题意，
综上所述：当t=$\frac{16}{5}$，t=$\frac{40}{11}$，t=3.4时，△PQC为等腰三角形．

点评 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，特别是（3）要分类讨论，不要漏解．

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