Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，点D在AC边上，将△ABD沿着BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥DE、那么DE的长度为4$\sqrt{3}-4$．

Answer 1

分析 连接AE，先证明△ABE是顶角为30°等腰三角形，再证明△BCD是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 解：连接AE，
∵△BDE是由△BDA翻折，∠BAC=30°，
∴AD=DE，BA=BE，∠DBA=∠DBE，
∵AD⊥DE，
∴∠DEA=∠DAE=45°，∠BAE=∠BEA=75°，
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠BEA=30°，
∴∠DBA=∠DBE=15°，
∴∠CDB=∠DBA+∠CAB=45°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴BC=CD，
在RT△BAC中，∵AB=8，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，AC=$\sqrt{3}$BC=4$\sqrt{3}$，
∴CD=4，AD=DE-AC-CD=4$\sqrt{3}$-4．
故答案为4$\sqrt{3}$-4

点评 本题考查翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质，发现特殊三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．