Question

【题目】如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析.

【解析】

(1)根据OM是∠AOB的角平分线，可得∠AOB=60°，则∠OCE=30°，再根据30°所对直角边是斜边的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根据AAS证明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，则OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出结论.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量代换可得OE﹣OD=OC.

(1)∵OM是∠AOB的角平分线，

∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，

∵CD⊥OA，

∴∠ODC=90°，

∴∠OCD=30°，

∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，

在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，

∴OD+OE=OC，

(2)(1)中结论仍然成立，理由：

过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，

∴∠OFC=∠OGC=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠FCG=60°，

同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，

∴OF+OG=OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF=CG，

∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，

∴OD+OE=OC；

(3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，

理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图，

∴∠OFC=∠OGC=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠FCG=60°，

同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，

∴OF+OG=OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF=CG，

∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，

OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，

∴OE﹣OD=OC．