Question

5．如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若AB=6，∠CBA=15°，则CD的长是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连结DA、DB，作DE⊥BC于E，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=90°，∠ABD=∠BCD=45°，则可判断△ABD和△CDE都为等腰直角三角形，所以DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，再计算出∠DBC=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DE=$\sqrt{3}$BE=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，然后在Rt△CDE中利用等腰直角三角形的性质求CD．

解答 解：连结DA、DB，作DE⊥BC于E，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠BCD=45°，
∴△ABD和△CDE都为等腰直角三角形，
∴DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∵∠CBA=15°，
∴∠DBC=60°，
在Rt△BDE中，BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
DE=$\sqrt{3}$BE=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△CDE中，CD=$\sqrt{2}$DE=3$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形的性质．