题目内容

如图1，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点作OE⊥OF分别交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分线EP交直线AC于P．
（1）①求证：OE=OF；
②写出线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；
（2）如图2，当∠EOF绕O点逆时针旋转一个角度，使E、F分别在CD、BC的延长线上，请完成图形并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）．
（1）①∵OE⊥OF，且正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，
∴∠BOF=∠EOC，OB=OC，∠OBF=∠OCE，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF．
②EF+
2
CP=BC，
证明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分线EP交直线AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∵∠OPE是△CPE的外角，
∴∠OPE=∠PCE+∠CEP=45°+∠CEP，
∵∠OEF=45°，∠OEP=∠OEF+∠FEP=45°+∠FEP
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=
2
OE=
2
OP．
∵BC=
2
OC=
2
（OP+CP），
∴EF+
2
CP=BC．

（2）①成立．
②不成立应为EF-
2
CP=BC．
图形如图所示，
证明如下：∠OEP=45°-∠CEP，
又∵∠ECP=90°，
∴∠CQP=∠ECQ+∠CEP=90°+∠CEP．
∵∠QCP=∠BCO=45°，
∴∠P=180°-∠CQP-∠QCP=45°-∠CEP．
∴∠P=∠OEP．
∴OE=OP．
∴EF=
2
OE=
2
OP．
∵BC=
2
OC=
2
（OP-CP），
∴EF-
2
CP=BC．
练习册系列答案
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点G是正方形ABCD边AB的中点，点E是射线BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，连接EG．

（1）若E为BC的中点（如图1）
①求证：△AEG≌△EFC；
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如图，四边形ABCD和MNPQ都是边长为a的正方形，点A是MNPQ的中心（即两条对角线MP和NQ的交点），点E是AB与MN的交点，点F是NP与AD的交点，则四边形AENF的面积是（　　）
A．
a2
4
B．
a2
3
C．
2a2
5
D．
2a2
3
如图，点M、E分别在正方形ABCD的边AB、BC上，以M为圆心，ME的长为半径画弧，交AD边于点F．当
∠EMF=90°时，求证：AF=BM．
如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：∠DAE=
1
2
∠BAF．
若正方形的对角线长为a，那么它的对角线的交点到它的边的距离为______．
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S△APD=______．
如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB=
5
．则正方形ABCD的面积为______．
如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______（用含自然数n的式子表示）．

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