Question

1．如图，已知边长为6的等边△ABC内接于⊙O．
（1）求⊙O半径；
（2）求$\widehat{BC}$的长和弓形BC的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OB，OC，作OM⊥BC于M，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）直接根据弧长公式可得出弧BC的长，再由弓形BC的面积=S_扇形BOC-S_△BOC可得出结论．

解答 解：（1）连结OB，OC，作OM⊥BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=120°．
又∵OM⊥BC，
∴BM=CM=3．
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∴⊙O半径=$\frac{3}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$；

（2）∵由（1）知∠BOC=120°，OB=2$\sqrt{3}$，
∴弧BC的长=$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$
弓形BC的面积=S_扇形BOC-S_△BOC=$\frac{120π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×6×3=4π-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．